2009年，適逢國際數學奧林匹克IMO舉辦50屆，國際數學奧林匹克委員會舉行了50周年慶典活動。
在這場50周年慶典，出現了很多聞名世界的數學家。
慶典結束后，則是正式比賽，來自全球105個國家和地區的近560名學生將參加本屆比賽。
整個比賽持續一周時間。
比賽選手將在這為期一周的時間內攻克數學難題，爭奪數學奧林匹克的金銀銅牌。每個國家的參賽選手，都抱著為國爭光的決心前來征戰世界。
3月15日，競賽拉開帷幕
IMO一共六道題，今天考三題，明天考三題，每題7分，滿分是42分。每個競賽日的競賽時間為4.5個小時，可攜帶任何文具及作圖工具，一切電子設備不被允許帶入賽場。
因為競賽時間較長，各選手可自帶食物飲料進場，可并攜帶不多于三本的參考資料。
但是秦元清除了帶了一些吃喝的，其他參考資料一本沒帶，因為按照以前的情況，參考資料基本上沒有什么用的，出題人早已考慮到這些，要是參考資料能夠找到解決辦法，說明出題人的出題水平太爛了。
這就如同國內考試，開卷考往往比閉卷考難得多。
因為本國選手拿到題目，都已經是換成本國文字，所以選手拿到試卷，都不會存在任何語言文字的障礙。
秦元清拿到試卷，只有三題，第一題是最簡單的，要是連第一題都不會做，那么后面兩題都不用考慮了。
秦元清很冷靜，第一道題最簡單，是送分題，可是同樣的，一不小心就變成了送命題。
“1、n是一個正整數，a1，a2.....ak（k≥2）是{1，2，......，n}中的不同整數，并且nai（ai11）對于所有i1，2，.......，k1都成立，證明：ak（a11）不能被n整除。”
秦元清看了三遍題目，心中暗罵一下提供這題的人以后生孩子沒屁眼，竟然暗設陷阱，一個不小心就會答錯掉。
秦元清開始作答，首先利用數學歸納法證明：對任意的整數i（2≤i≤k），都有被整除，得出當i2時，由已知得能被乘除的結論成立。一步步以此展開，最后得出，ak（a11）不能被n整除的結論。
然后秦元清又看向第二道題。
“△ABC外接圓的圓心為O，P、Q分別在線段CA、AB上，K、L、M分別是BP、CQ、PQ的中點，圓Г過K、L、M并且與PQ相切。證明：OPOQ。”
秦元清這一題審題完成，倒是覺得這一題比上一題容易一些，沒有設陷阱。先是做了一個圓，然后化作△ABC，然后又作出CA、AB線段以及P、Q二點，然后標出BP、CQ、PQ的中點K、L、M。最后作出圓Г。
隨后以直線PQ與圓Г相切，相切點M，然后通過弦切角定理得出∠QMK∠MLK。由于點K、M分別是BP、PQ的中點，所以KM∥BQ，從而得出∠QMK∠AQP。
因此得到∠MLK∠AQP。
同理，∠MKL∠APQ。
根據角的相等，得到△MKL∽△APO，從而得到MK/MLAP/AQ
因為K、L、M分別是線段BP、CQ、PQ的中點，所以得到KMBQ/2，LMCP/2，將此帶入上式得BQ/CPAP/AQ，將式子轉為AP·CPAQ·BQ。通過圓冪定理知OP2OA2AP·CPOA2AQ·BQOQ2
所以，得出結論OPOQ。
秦元清連檢查都沒有檢查，將抽向的數學問題轉為圖像，這個是他擅長的地方，他有十全的把握證明。
緊接著秦元清看向第三題，“3、S1，S2，S3，......是嚴格遞增的正整數數列，并且它的子數列SS1、SS2、SS3，.....和SS11，SS21，SS31......都是等差數列。證明：S1，S2，S3......是一個等差數列。”
看著這一題，秦元清微皺起眉頭，這一題明顯比前面兩道題難得多，秦元清將已知條件稍微捋了一下，這一道題融合了等差數列、以及轉換法。
秦元清一步一步地展開，通過數列以及子數列都是嚴格的遞增的正整數數列，設Sska（k1）d1，SSk1b（k1）d2（k1，2......，a、b、d1、d2∈N）。
將問題轉為函數、數列后，以Sk
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